公司被执行时，监事可能承担的法律责任主要包括以下几个方面：

1. 监督职责履行不当责任：监事作为公司内部监督机构的重要成员，有责任对公司财务、董事及高级管理人员的履职情况进行监督。如果监事未履行或不当履行这一监督职责，导致公司利益受损，监事需对公司承担赔偿责任。

2. 协助调查责任：在公司面临执行等法律程序时，监事有义务协助相关部门进行调查，如实提供公司财务、经营等方面的资料和信息。如果监事拒绝协助或提供虚假信息，可能会面临法律制裁，如罚款或其他行政处罚。

3. 对违法违规行为的责任：若公司存在违法违规经营行为，而监事未尽到监督和制止义务，监事可能会被追究相应的法律责任。这包括但不限于行政罚款、市场禁入等处罚。在严重情况下，如果监事的行为构成犯罪，还可能承担刑事责任。

4. 个人财产与公司财产混同责任：监事应确保个人财产与公司财产清晰分离。如果监事将个人财产与公司财产混同，损害了债权人的利益，监事可能需对公司债务承担连带责任。

5. 损害股东利益责任：监事的行为如果损害了股东的合法权益，股东有权依法要求监事承担赔偿等责任。例如，监事隐瞒重要信息导致股东错误决策并受损，监事需承担相应的赔偿责任。

综上所述，公司被执行时，监事可能因监督职责履行不当、拒绝协助调查、未尽监督和制止义务、个人财产与公司财产混同以及损害股东利益等行为而承担法律责任。因此，监事应忠实履行职责，勤勉尽责，确保公司利益的合法保护。如有任何具体法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。