首先，当私立医院的营业执照上的法定代表人去世后，医院需要按照相关法律规定进行法定代表人的变更。以下是变更法定代表人的一般步骤和注意事项：

1. 明确变更流程：

   • 根据《公司法》及相关行政法规，医院作为法人机构，其法定代表人的变更需要经过一定的法律程序，包括但不限于股东会或董事会决议、修改公司章程、向相关行政机关提交变更申请等。
   • 具体流程可能因地区而异，建议咨询当地工商行政管理部门或卫生健康行政部门，以获取最准确的变更流程和要求。

2. 准备必要文件：

   • 法定代表人去世的证明文件，如死亡证明或户籍注销证明。
   • 医院股东会或董事会关于变更法定代表人的决议。
   • 修改后的公司章程或相关文件。
   • 新法定代表人的身份证明及任职资格证明。

3. 提交变更申请：

   • 将准备好的文件提交至当地工商行政管理部门或卫生健康行政部门，按照要求填写变更申请表，并缴纳相关费用。
   • 等待行政机关的审核和批准，期间可能需要配合提供补充材料或接受现场检查。

4. 完成变更登记：

   • 一旦变更申请获得批准，医院需要及时到工商行政管理部门或卫生健康行政部门办理变更登记手续，领取新的营业执照或相关证照。
   • 同时，医院还需要更新内部文件、印章、银行账户等，确保新法定代表人的身份得到全面认可。

5. 注意事项：

   • 在整个变更过程中，医院应确保所有文件的真实性和合法性，避免因虚假材料或违规行为导致变更无效或受到行政处罚。
   • 变更法定代表人可能涉及医院内部管理和外部关系的调整，医院应做好相关沟通和协调工作，确保变更顺利进行。

如果您在办理过程中遇到任何具体问题或困难，可以直接向我咨询，我会根据您的实际情况提供更具体的法律建议和指导。