董事会秘书和职工董事可以兼任。具体分析如下：

一. 董事会秘书的任职资格与任命

1. 根据《公司法》第一百二十三条，上市公司设董事会秘书，负责公司股东大会和董事会会议的筹备、文件保管以及公司股东资料的管理，办理信息披露事务等事宜。
2. 董事会秘书由董事长提名，经董事会聘任或解聘，这意味着董事会秘书可以是董事会成员之一，也可以由其他高级管理人员兼任。

二. 职工董事的产生与职责

1. 职工董事是由公司职工通过职工代表大会、职工大会或者其他形式民主选举产生的，代表职工利益进入董事会的成员。
2. 职工董事在董事会中履行其代表职工利益的职责，参与公司决策。

三. 兼任的可行性

1. 法律并未明确禁止董事会秘书与职工董事的兼任。
2. 董事会秘书作为公司高级管理人员，其主要职责是协助董事会处理日常事务和信息披露等，与职工董事的职责并不冲突。
3. 因此，从法律和实践角度来看，董事会秘书和职工董事是可以兼任的。

综上所述，董事会秘书和职工董事在法律上是可以兼任的，但具体是否兼任还需根据公司实际情况和董事会决策来确定。如有进一步需要，您可以继续咨询我。