申请离婚诉讼是会有备案的。当夫妻双方决定离婚并提起诉讼时，相关的申请材料和诉讼过程都会在法院进行备案。这一备案过程是为了确保离婚诉讼的合法性和有效性，并为后续可能的法律程序提供依据。

具体来说，在离婚诉讼过程中，法院会要求夫妻双方提交一系列的申请材料，包括但不限于结婚证、身份证、离婚起诉书、财产分割协议（如有）、子女抚养协议（如有）等。这些材料在提交给法院后，会被法院工作人员进行审查，并记录在案。一旦法院受理了离婚诉讼，相关的诉讼过程，包括庭审、调解、判决等，也都会在法院的档案中进行详细记录。

此外，根据新修订的《婚姻登记条例》，婚姻登记管理信息系统已经实现了全国联网，这意味着离婚诉讼的备案信息也可以在全国范围内进行共享和查询。这既方便了当事人进行相关的法律程序，也加强了婚姻登记的信息化管理和监督。

总的来说，申请离婚诉讼是会有备案的，这一备案过程是为了保障离婚诉讼的合法性和有效性，并为后续的法律程序提供依据。同时，随着婚姻登记信息化的不断推进，离婚诉讼的备案信息也可以在全国范围内进行共享和查询。