私生子的继承权在继承开始后即可提出。具体分析如下：
一. 私生子继承权的法律依据
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，这明确包括了继承权。此条款说明，私生子在法律上与婚生子女具有同等的地位，包括在继承方面的权利。
- 《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条进一步明确了继承顺序，其中子女包括婚生子女、非婚生子女等，这再次确认了私生子的继承权。
二. 继承权的提出时机
- 继承权通常在继承开始后提出。根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十三条，继承开始后，首先按照法定继承办理。这意味着，在遗产分配时，私生子有权与其他继承人一同参与，并按照法律规定获得其应得的份额。
- 如果有遗嘱或遗赠扶养协议，且其中涉及私生子的继承份额，那么私生子也可以在遗嘱或协议生效后提出其继承权。
三. 实际操作建议
- 在实际操作中，私生子如需主张其继承权，应首先确认自己的身份，并了解遗产的具体情况。如有必要，可以寻求专业律师的帮助，以确保自己的合法权益得到保障。
综上所述，私生子的继承权在继承开始后即可提出，这是基于《中华人民共和国民法典》的明确规定。如有进一步需要，您可以继续咨询我。