关于“下级留置会不会供出向上级行贿”的问题，这实际上涉及到刑事案件的侦查过程、证据收集以及嫌疑人之间的可能关系等多个方面。以下是我的详细分析：

1. 留置措施与供述：

   • 留置是监察机关对涉嫌职务犯罪的被调查人采取的一种强制措施，旨在限制其人身自由，以便进行深入调查和取证。
   • 在留置期间，被调查人有义务配合调查，如实供述自己的罪行。如果下级在留置期间选择如实供述，包括向上级行贿的情况，那么这将成为案件的重要证据。

2. 证据收集与行贿行为的揭露：

   • 监察机关在调查过程中，会采取多种手段收集证据，包括但不限于询问、查询、勘验检查、鉴定等。
   • 如果下级供述了向上级行贿的情况，监察机关会进一步调查核实，包括收集相关书证、物证、证人证言等，以形成完整的证据链。

3. 上级是否会被牵连：

   • 如果下级的供述得到证实，且上级确实存在受贿行为，那么上级很可能会被牵连进案件，并面临相应的法律后果。
   • 当然，如果上级并未受贿，或者下级的供述无法得到证实，那么上级就不会因此受到牵连。

4. 法律建议：

   • 对于涉及职务犯罪的问题，建议相关人员积极配合调查，如实供述自己的罪行，争取从宽处理。
   • 同时，也建议相关人员加强自我约束，遵守法律法规，避免触碰法律红线。

综上所述，下级留置期间是否会供出向上级行贿，取决于下级的供述情况、监察机关的证据收集能力以及上级是否存在受贿行为等多个因素。因此，无法给出绝对的答案。但无论如何，配合调查、如实供述是最佳选择。如果你或你身边的人面临类似问题，建议尽快咨询专业律师以获取更具体的法律建议。