行政处罚决定履行催告书的下达时间通常是在当事人未履行行政处罚决定且未提出行政复议或行政诉讼的情况下，执法机关随后会下达催告通知书。具体来说：

1. 起始时间：

   • 行政处罚决定书作出并送达当事人后，当事人应在决定书规定的期限内（一般为15日）履行处罚义务，如缴纳罚款等。
   • 若当事人在该期限内未履行义务，且未提出行政复议或行政诉讼，则执法机关有权开始催告程序，下达行政处罚决定履行催告书。

2. 催告期限：

   • 催告通知书送达当事人后，通常会给予当事人一个合理的催告期（一般为10日），以便其在此期间内履行义务。
   • 若当事人在催告期内仍未履行义务，行政机关可依法进一步采取措施，包括申请强制执行。

这一流程是依据《中华人民共和国行政强制法》的相关规定来执行的。其中，第三十五条规定了行政机关在作出强制执行决定前，应当事先以书面形式催告当事人履行义务，并载明履行义务的期限、方式以及当事人享有的陈述权和申辩权。同时，第五十三条和第五十四条也进一步明确了当事人在法定期限内不申请行政复议或提起行政诉讼，又不履行行政决定的，行政机关可以申请人民法院强制执行，但在申请前必须催告当事人履行义务，且催告书送达十日后当事人仍未履行义务的，方可申请强制执行。

综上所述，行政处罚决定履行催告书的下达时间是行政处罚程序中的一个重要环节，它关乎当事人的合法权益以及行政机关的执法效率和公信力。因此，在实际操作中，行政机关应严格遵守相关法律法规，确保程序的合法性和公正性。如果你在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。