关于公司辞退员工的赔偿问题，这确实是一个涉及多个法律知识点的复杂议题。以下是对此问题的详细解答：

一、公司合法辞退的情形及赔偿

1. 无需支付赔偿的情形：
   • 员工在试用期间被证明不符合录用条件；
   • 员工严重违反用人单位的规章制度；
   • 员工严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害；
   • 员工同时与其他用人单位建立劳动关系，且对完成本单位的工作任务造成严重影响，或经用人单位提出后拒不改正；
   • 员工以欺诈、胁迫等手段或乘人之危，使用人单位在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同，导致劳动合同无效；
   • 员工被依法追究刑事责任。

在这些情形下，公司可以合法辞退员工，且无需支付任何赔偿。

1. 需支付经济补偿的情形：
   • 当用人单位与劳动者协商一致解除劳动合同，且是用人单位提出解除动议；
   • 员工因患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作；
   • 员工不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位后，仍不能胜任工作；
   • 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，且未能就变更劳动合同内容达成协议；
   • 公司因经营困难、岗位调整、技术革新等经济原因需要裁员；
   • 劳动合同期满，除用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同而劳动者不同意续订的情形外，终止固定期限劳动合同；
   • 用人单位被依法宣告破产、被吊销营业执照、责令关闭、撤销或决定提前解散而终止劳动合同。

补偿标准： 经济补偿按员工在本单位工作的年限来计算，具体为：

• 每满一年支付一个月工资的标准向员工支付经济补偿；
• 六个月以上不满一年的，按一年计算；
• 不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。

如果员工的月工资高于当地职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。这里的月工资是指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

二、公司违法辞退的情形及赔偿

若公司违反《劳动合同法》的规定解除或终止劳动合同，如辞退孕期女职工、在医疗期内辞退员工等，员工有权要求公司继续履行劳动合同。若员工不要求继续履行劳动合同或劳动合同已经无法继续履行，公司应依照上述经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。

三、其他注意事项

1. 未休假期和加班费：在辞退时，公司需结算员工未休的假期（如年假、病假等）和加班费，按照实际工作时间和当地劳动法规进行计算。

2. 其他福利和待遇：根据公司政策和当地劳动法规，员工在辞退时可能还有权获得其他福利和待遇，如社会保险补偿、住房公积金退还等。

3. 特殊情况：如员工因工伤或职业病被辞退，或公司在辞退过程中存在歧视、骚扰等违法行为，员工可能有权获得更高的赔偿。

4. 劳动合同约定：若劳动合同中约定了违约金或其他相关条款，且这些条款不违反法律规定，公司在辞退员工时还需按合同约定支付相应费用。

综上所述，公司辞退员工的赔偿问题涉及多个方面，具体处理时需结合实际情况和当地劳动法规进行综合判断。建议在面临此类问题时，及时咨询专业律师或劳动仲裁机构以获取准确的法律意见和指导。