双方私下签订居住权协议但不登记，该协议本身合法，但居住权并未设立。以下是对此问题的详细分析：

一. 协议本身的合法性

1. 合同成立与生效：根据《中华人民共和国民法典》第四百六十四条，合同是民事主体之间设立、变更、终止民事法律关系的协议。依法成立的合同，受法律保护。双方私下签订的居住权协议，作为合同的一种，只要其内容不违反法律法规的强制性规定，不违背公序良俗，且双方意思表示真实，即具备合同的成立与生效要件。
2. 居住权协议的特定要求：根据《中华人民共和国民法典》第三百六十七条，设立居住权，当事人应当采用书面形式订立居住权合同。双方私下签订书面居住权协议，符合法律对居住权设立形式的要求。

二. 居住权的设立

1. 登记是居住权设立的要件：根据《中华人民共和国民法典》第三百六十八条，设立居住权的，应当向登记机构申请居住权登记。居住权自登记时设立。这意味着，仅签订居住权协议而不进行登记，居住权并未真正设立。
2. 未登记的法律后果：由于居住权未登记，因此不能产生对抗第三人的法律效力，也不能作为权利人享有居住权的有效凭证。在发生纠纷时，权利人可能面临无法证明其居住权存在的风险。

综上所述，双方私下签订居住权协议是合法的，但该协议仅作为双方之间的约定，并未导致居住权的设立。为了保障居住权的实现和对抗第三人，建议双方在完成协议签订后，及时向登记机构申请居住权登记。如有进一步需要，您可以继续咨询我。