劳务派遣工在同一个单位工作了十年且签了四次劳动合同，可以要求与劳务派遣单位签订无固定期限劳动合同。
详细分析如下：
一. 劳务派遣工签订无固定期限劳动合同的条件
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳务派遣工在符合一定条件下，有权要求与劳务派遣单位签订无固定期限劳动合同。这些条件包括：
连续工作满十年：劳务派遣工在劳务派遣单位连续工作满十年，即满足签订无固定期限劳动合同的第一个条件。此处的“连续工作满十年”是指劳动者在同一用人单位（即劳务派遣单位）的累计工作年限。
连续订立二次固定期限劳动合同：劳务派遣单位与被派遣劳动者连续订立二次固定期限劳动合同后，若劳动者没有《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，续订劳动合同的，应当订立无固定期限劳动合同。本题中，劳务派遣工已经签了四次劳动合同，显然满足这一条件。
二. 无固定期限劳动合同的意义与适用
无固定期限劳动合同为劳务派遣工提供了更稳定的就业保障，有助于减少职业的不确定性和短期性。它体现了劳动法对劳动者长期稳定就业权益的保护。在本题中，劳务派遣工已经满足了签订无固定期限劳动合同的条件，因此有权要求与劳务派遣单位签订此类合同。
三. 劳务派遣单位的义务
作为用人单位，劳务派遣单位应当严格遵守相关法律法规，确保劳动者的合法权益得到充分保障。当劳务派遣工满足签订无固定期限劳动合同的条件时，劳务派遣单位应当与其签订无固定期限劳动合同，这是其应尽的法律责任。
综上所述，劳务派遣工在同一个单位工作了十年且签了四次劳动合同，完全有权要求与劳务派遣单位签订无固定期限劳动合同。劳务派遣单位也应当依法履行与劳动者签订无固定期限劳动合同的义务。如有进一步需要，您可以继续咨询我。