追赶交通逃逸者的处罚方式主要取决于逃逸行为造成的后果严重程度以及逃逸者本身的行为恶劣程度，通常分为行政处罚和刑事处罚两类。

一、行政处罚

对于不构成犯罪的交通逃逸行为，依据《中华人民共和国道路交通安全法》的相关规定，公安机关交通管理部门将对逃逸者进行以下处罚：

1. 罚款与拘留：逃逸者将面临二百元以上二千元以下的罚款，并可能被并处十五日以下拘留。
2. 驾驶证处罚：逃逸者的机动车驾驶证将被吊销，并且终生不得重新取得。同时，根据《道路交通安全违法行为记分管理办法》，逃逸行为还可能根据事故后果的严重程度被记6分或12分。

二、刑事处罚

若交通逃逸行为构成犯罪，则将面临更为严厉的刑事处罚，具体分为以下几种情况：

1. 一般交通肇事逃逸：

   • 根据《中华人民共和国刑法》第一百三十三条，若违反交通运输管理法规，发生重大事故后逃逸，或其他特别恶劣情节（例如死亡一人或重伤三人以上并负主要责任等），将处三年以上七年以下有期徒刑。
   • 这里的“其他特别恶劣情节”还包括：死亡二人以上或重伤五人以上并负全部或主要责任；死亡六人以上并负同等责任；造成公共财产或他人财产直接损失，且无能力赔偿数额在六十万元以上并负全部或主要责任。

2. 因逃逸致人死亡：

   • 若逃逸行为直接导致被害人因得不到及时救助而死亡，逃逸者将面临七年以上有期徒刑的处罚。

3. 积极履行救助义务的情况：

   • 若逃逸者在肇事后能够积极履行救助义务并主动投案，虽然仍构成逃逸，但不会被认定为“因逃逸致人死亡”。此时，若逃逸者的行为之前已构成交通肇事罪，则将在三年以上七年以下的量刑幅度内从重处罚。

综上所述，交通逃逸是一种严重的违法行为，不仅会对受害者造成极大的伤害，也会给逃逸者自身带来不可挽回的法律后果。因此，强烈建议驾驶者在发生交通事故后，应立即停车、抢救受伤人员、保护现场并及时报警处理，切勿选择逃逸。遵守法律法规，是每个公民应尽的责任与义务。