行政机关履行法定职责申请书中，通常建议写明联系方式。以下是具体分析：
从法律要求角度看：虽然法律可能并未明确规定申请书中必须包含联系方式，但写明联系方式是一种良好的实践。它有助于行政机关在需要时与申请人取得联系，以核实信息、补充材料或进行进一步的沟通。
从实际操作角度看：联系方式的提供能够确保申请的顺畅进行。如果行政机关在审查申请过程中发现问题或需要额外信息，他们可以通过联系方式及时与申请人取得联系，避免延误申请的处理。同时，申请人也可以通过联系方式及时了解申请进展，获得反馈。
从权益保障角度看：写明联系方式有助于保障申请人的合法权益。如果行政机关未能按照法定职责处理申请，申请人可以通过提供的联系方式进行追问、投诉或寻求法律救济。
综上所述，虽然法律可能未明确规定必须写明联系方式，但出于实际操作的便利性和权益保障的考虑，建议在行政机关履行法定职责申请书中写明联系方式。如果对此有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。