区区长在法律监督中承担法律责任的四个要点主要包括：依法行政、接受监督、违法必究以及主动履责。以下是对这四个要点的详细分析：

一. 依法行政

• 法律依据：根据《中华人民共和国地方各级人民代表大会和地方各级人民政府组织法》等相关法律法规，区区长作为地方政府首长，必须严格遵守国家法律法规，确保行政行为的合法性。
• 实例说明：例如，区区长在决策过程中，必须遵循法律法规的规定，不得超越职权或滥用职权，否则将承担相应的法律责任。

二. 接受监督

• 法律依据：《中华人民共和国监察法》等法律法规规定，区区长应当接受来自上级政府、监察机关、人民群众以及社会各方面的监督。
• 实例说明：区区长需要定期向本级人民代表大会报告工作，接受人大代表的质询和评议，同时还需要接受监察机关的监察和调查，确保其行为符合法律法规的要求。

三. 违法必究

• 法律依据：根据《中华人民共和国行政诉讼法》、《中华人民共和国行政处罚法》等法律法规，对于区区长的违法行为，必须依法追究其法律责任。
• 实例说明：如果区区长在行政过程中存在违法行为，如滥用职权、玩忽职守等，将依法受到行政处分、行政处罚甚至刑事追究，以确保法律的严肃性和权威性。

四. 主动履责

• 法律依据：《中华人民共和国公务员法》等法律法规要求公务员（包括区区长）应当积极履行职责，为人民群众服务。
• 实例说明：区区长应当主动了解本地区的经济社会发展情况，积极解决人民群众反映的问题，确保政府工作的有效性和针对性。如果因怠于履行职责而造成不良后果，也将承担相应的法律责任。

综上所述，区区长在法律监督中承担法律责任的四个要点是依法行政、接受监督、违法必究以及主动履责。这些要点共同构成了区区长履行法律职责的框架，确保其行政行为的合法性和有效性。如有进一步需要，您可以继续咨询我。