信用卡欠款一万多元存在被起诉的可能性。针对您提出的问题，以下是对此问题的详细分析：
一. 信用卡欠款属于民事债务纠纷
信用卡欠款本质上是一种民事债务关系。根据一般的法律原则，如果持卡人未能按照约定偿还欠款，银行有权通过法律途径追讨债务。
二. 银行起诉的条件
虽然理论上，不论信用卡欠款金额多少，银行都有权提起民事诉讼，但在实际操作中，银行通常会考虑以下因素来决定是否起诉：
欠款金额与逾期时间：
- 欠款金额较大时，银行更可能采取法律手段。虽然一万多元未达到某些刑事案件（如信用卡诈骗罪）的立案标准，但足以构成民事案件。
- 逾期时间较长也是银行考虑起诉的重要因素。一般来说，如果持卡人连续三个月无法偿还最低还款额，银行有权提起诉讼。
催收情况：
- 银行在起诉前通常会进行多次催收，包括短信、电话、上门等方式。如果持卡人在合理期限内仍不还款，银行可能会选择起诉。
持卡人的还款态度与经济状况：
- 银行也会考虑持卡人的还款态度和经济状况。如果持卡人表现出积极的还款意愿，并与银行协商出可行的还款计划，银行可能会暂停起诉程序。
三. 法律后果
民事责任：
- 若法院判定欠款事实成立，持卡人需承担还款责任，归还信用卡欠款本金、利息、滞纳金等相关费用。
- 银行有权申请法院强制执行，以冻结、划拨持卡人的银行存款，查封、扣押、拍卖其名下财产等方式确保欠款得以清偿。
信用记录受损：
- 一旦进入司法程序且被认定欠款不还，持卡人的个人信用记录将受到严重影响。这将对其今后的贷款、信用卡申请、购房、购车等金融活动产生阻碍。
刑事责任风险：
- 如果持卡人以非法占有为目的，超过规定限额或者规定期限透支，并且经发卡银行两次催收后超过三个月仍不归还，数额在五万元以上的，可能构成信用卡诈骗罪，面临刑事责任。但您所提及的一万多元欠款尚未达到此刑事立案标准。
四. 我的建议
及时与银行沟通：
- 建议您尽快与银行联系，说明自己的还款意愿和困难，并尝试协商制定还款计划。银行可能会根据您的实际情况提供更灵活的还款方式。
避免逃避债务：
- 逃避债务只会让问题变得更加严重。即使面临诉讼，也应积极应诉，并尽力履行还款义务。
关注个人信用记录：
- 个人信用记录对金融活动至关重要。请务必保持良好的还款习惯，避免逾期还款导致信用受损。
综上所述，信用卡欠款一万多元存在被起诉的可能性。为避免不必要的法律纠纷和信用损失，建议您尽快与银行沟通并妥善处理欠款问题。如有进一步需要，您可以继续咨询我。