伪造立户同意书通过审核，户籍部门有责任。具体责任分析如下：
一. 户籍部门在审核过程中的职责
根据《中华人民共和国户口登记条例》及相关法律法规，户籍部门负责户籍登记、迁出迁入等相关工作，这些工作具体由各级公安机关主管，具体执行部门则是公安系统的户籍科以及派出所。户籍管理部门在审核立户同意书等户籍相关材料时，应当严格把关，确保材料的真实性和合法性。
二. 伪造立户同意书的法律性质
伪造立户同意书属于违法行为。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第五十二条的规定，伪造、涂改、转让、出借、出卖户口证件等行为均属于违法行为，公安机关有权依法给予治安管理处罚或者追究刑事责任。因此，伪造立户同意书并通过审核，不仅违法，还可能对户籍管理的严肃性和公信力造成损害。
三. 户籍部门的责任认定
审核不严的责任：如果户籍部门在审核立户同意书时，未尽到应有的审慎义务，导致伪造的材料通过审核，户籍部门应当承担审核不严的责任。根据《中华人民共和国公务员法》等相关法律法规，公务员在执行公务过程中因故意或者重大过失导致不良后果的，应当依法承担相应责任。
内部管理责任：如果户籍部门存在内部管理不善、制度执行不严等问题，导致伪造材料得以通过审核，户籍部门还应当承担内部管理责任。这包括对相关责任人员的追责、加强制度建设、完善审核流程等措施。
四. 实际案例的警示
在实际案例中，不乏因户籍部门审核不严导致伪造材料通过审核的情况。这些案例警示我们，户籍部门必须严格遵守法律法规，加强审核把关，确保户籍管理的严肃性和公信力。
我的建议：户籍部门应当加强对户籍相关材料的审核把关，建立健全内部管理制度和审核流程，确保材料的真实性和合法性。同时，对于伪造立户同意书等违法行为，应当依法予以严厉打击，维护户籍管理的正常秩序和公信力。如有进一步需要，您可以继续咨询我。