针对您提出的问题，关于私人老板雇佣的司机在开车过程中发生交通事故后罚款一万元是否应由司机承担，我们可以从以下几个方面进行详细解答：
一、雇佣关系下的责任承担原则
在雇佣关系中，司机作为提供劳务的一方，按照雇主的授权或指示进行驾驶任务。根据《民法典》第一千一百九十二条的规定，个人之间形成劳务关系，提供劳务一方因劳务造成他人损害的，由接受劳务一方承担侵权责任。这意味着，在一般情况下，司机在驾驶过程中因交通事故产生的罚款或赔偿责任，应由雇主承担。
二、司机的责任情况
无故意或严重过失：如果司机在驾驶过程中没有故意行为或严重过失，那么他们通常无需承担赔偿责任。此时，罚款或赔偿责任应由雇主承担。
有故意或严重过失：然而，如果司机在驾驶过程中存在故意行为或严重过失，如酒驾、超速驾驶等违法行为，导致交通事故的发生，那么他们就必须与雇主共同承担连带赔偿责任。在这种情况下，雇主在先行支付赔偿款后，有权向司机提出进一步的追索要求。
三、实际操作建议
明确雇佣关系：为了避免类似纠纷的发生，建议在雇佣司机时明确双方的权利和义务，包括在交通事故中的责任承担问题。可以通过签订书面雇佣合同或协议来明确这些条款。
购买保险：雇主可以考虑为车辆购买足够的保险，以减轻在交通事故中的经济负担。同时，也可以鼓励司机购买个人责任保险，以进一步保障双方的权益。
综上所述，私人老板雇佣的司机在开车过程中发生交通事故后产生的罚款一万元，在一般情况下应由雇主承担。但如果司机存在故意行为或严重过失，则可能与雇主共同承担连带赔偿责任。为了避免类似纠纷的发生，建议双方明确雇佣关系并购买足够的保险来保障各自的权益。