当支票不慎遗失时，为有效维护自身权益并尽可能减小损失，您需要按照以下步骤进行处理：

一、首要措施：及时挂失止付

1. 出票人挂失

   • 若您是出票人，且已签发的支票不慎遗失，应立即向您的开户银行出具公函或相关证明。
   • 填写挂失申请书（或使用进账单代替），并加盖预留银行的签名式样和印鉴。
   • 向银行申请挂失止付，银行在确认支票未支付且收取挂失手续费后，将受理挂失，并在您的账户中注明支票号码及挂失日期。

2. 收款人挂失

   • 若您是收款人，且收到的可直接支取现金的支票遗失，同样需要出具公函或证明。
   • 填写挂失止付申请书，并经付款人签章证明后，前往您的开户银行申请挂失。

3. 挂失止付的有效期与后续行动

   • 挂失止付为临时性防范措施，有效期通常为挂失日起的12日内。
   • 在此期间，您应向法院申请公示催告或提起诉讼，否则挂失止付将自动失效。

二、法律程序：公示催告与诉讼

1. 公示催告

   • 向票据支付地的基层人民法院提出公示催告申请。
   • 提交申请书及相关证据，如票面信息、交易合同等。
   • 法院审查后将在3日内发出公告，催促利害关系人申报权利。
   • 公示催告期间不得少于60日，且不得早于票据付款日后15日届满。
   • 若无人申报权利或申报被驳回，您可在公示催告期间届满后1个月内申请除权判决，凭此判决请求付款。

2. 普通诉讼

   • 您也可以选择直接向法院提起普通诉讼，以付款人为被告。
   • 在诉讼中，您需要证明自己是合法的票据权利人以及票据丢失的事实。
   • 法院在认定您的主张成立后，将判决付款人支付票据金额。

三、特殊注意事项

1. 保留证据

   • 在整个处理过程中，请务必保留好所有相关证据，如挂失止付通知书、公示催告申请书、法院文件等。

2. 不同类型支票的处理

   • 空白支票遗失一般不受理挂失，因其不具有法律效力。
   • 转账支票遗失虽不受理挂失止付，但您可请求收款人及其开户银行协助防范。

3. 责任自负

   • 若支票已超过有效期或在挂失前已被支付，由此造成的损失将由您自行承担。

综上所述，支票遗失后，您需要迅速采取行动，首先进行挂失止付以减小损失风险，随后根据具体情况选择公示催告或提起诉讼等法律途径来维护自身权益。在整个过程中，请务必保持冷静并遵循相关法律法规，确保每一步操作都合法有效。