针对您提出的问题“事业单位事业编制人员可以申请执业律师吗”，以下是我的详细解答：
首先，我们需要明确一点，事业单位事业编制人员并非完全不能申请执业律师。但是否可以，主要取决于具体的个人情况和所在单位的性质及规定。
可以申请执业律师的情况
对于在高等院校、科研机构中从事法学教育、研究工作的事业单位人员，如果符合法定条件并且经过所在单位同意，是可以申请兼职律师执业的。这类人员通常具备深厚的法学理论功底和教学研究经验，兼职律师工作有助于促进法学理论与法律实践的结合，对法律实务的发展和法律人才的培养都是有益的。
不可以申请执业律师的情况
然而，对于大多数普通的事业单位人员来说，由于事业单位通常有着严格的管理制度，禁止员工在外兼职以获取额外报酬，以避免利益冲突和影响本职工作，因此他们通常不能兼职从事律师职业。此外，根据《律师法》的相关规定，公务员不得兼任执业律师，而部分参照公务员管理的事业单位人员也同样受此限制。
申请执业律师的具体步骤
如果您确实有志于从事律师行业，并且符合上述可以申请的情况，那么您需要按照以下步骤进行：
通过法考：首先，您必须通过国家法律职业资格考试（法考），这是进入律师行业的必备条件。
处理原工作关系：若选择全职从事律师行业，您需要与事业单位协商辞职或取得单位的书面同意，以确保您的律师工作不会与原单位的工作产生冲突。
申请实习：持法律职业资格证书，与律师事务所签订实习协议，并由律师事务所向当地律师协会提出实习申请。
参加实习培训与考核：在实习期间，您需要参与律师协会组织的集中培训，并通过考核。同时，在资深律师的指导下参与实务训练。
申请律师执业证书：实习考核合格后，您可以向司法行政部门申请律师执业证书，正式开启律师职业生涯。
综上所述，事业单位事业编制人员能否申请执业律师取决于多种因素。如果您确实有此意向，建议首先了解清楚自己所在单位的性质和规定，并咨询当地司法行政部门或律师协会以获取更准确的指导。