失业登记的审核工作主要由公共就业服务机构负责。这些机构在收到劳动者的失业登记申请后，会对提交的材料进行审查。如果材料齐全，他们会给予审查审核，并在规定的时间内办结失业登记申请。具体来说，公共就业服务机构会在3个工作日内办结失业登记申请，并在办结后的5个工作日内，通过短信、电话等方式主动联系登记失业人员，进行结果反馈。

劳动者可以在户籍地、常住地、就业地或参保地的公共就业服务机构办理失业登记申请。提交申请时，需要填写《失业人员登记表》或类似表格，并提供有效身份证件，如居民身份证或社会保障卡等。对于提供的材料，劳动者需确保信息的真实性，并作出书面承诺。

总的来说，失业登记的审核工作由公共就业服务机构负责，他们会对劳动者的申请材料进行仔细审查，并在规定的时间内给出办理结果。劳动者只需按照要求准备好相关材料，并前往指定地点进行申请即可。