当农民工遭遇工资拖欠问题时，劳动局（现称人力资源和社会保障局）会采取一系列措施来解决这一问题，确保农民工的合法权益得到保障。以下是劳动局处理拖欠农民工工资问题的详细流程：

一、投诉与登记

农民工应首先携带本人身份证以及能证明劳动关系的材料（如劳动合同、工资条、工作记录等）前往当地劳动监察部门进行投诉。劳动监察部门会对投诉进行登记，并详细了解农民工的欠薪情况。

二、调查核实

劳动监察部门在收到投诉后，会立即展开调查核实工作。这一过程中，劳动监察部门会要求用人单位提供相关财务资料、员工名册、工资支付记录等，以核实农民工的欠薪情况。用人单位需积极配合调查，如实提供所需资料。

三、责令支付

如果调查核实确认用人单位存在拖欠工资的行为，劳动监察部门会责令用人单位在规定期限内支付拖欠的工资。这一期限通常根据欠薪的严重程度和用人单位的支付能力来确定。

四、加付赔偿金与行政处罚

如果用人单位在规定的期限内没有支付工资，劳动监察部门会责令其按照应付金额的百分之五十以上百分之一百以下的标准，向农民工加付赔偿金。同时，劳动监察部门还可能对用人单位进行行政处罚，如罚款等，以进一步督促其履行支付义务。

五、申请支付令与强制执行

除了劳动监察部门的行政手段外，农民工还可以依据《劳动合同法》向法院申请支付令。法院会对申请进行审查，若用人单位对支付令没有提出异议，支付令就会生效。随后，农民工可以通过强制执行程序要求用人单位支付工资。

六、劳动仲裁与诉讼

如果农民工对劳动监察部门的处理结果不满意，或者用人单位拒不履行支付义务，农民工还可以选择通过劳动仲裁或诉讼等法律途径进一步维权。在申请劳动仲裁时，农民工需要准备好相关证据材料，并按照仲裁程序进行申请和庭审。

综上所述，劳动局在解决拖欠农民工工资问题方面扮演着重要角色。通过投诉与登记、调查核实、责令支付、加付赔偿金与行政处罚、申请支付令与强制执行以及劳动仲裁与诉讼等多措并举，劳动局致力于保障农民工的合法权益，确保他们能够及时获得应有的工资报酬。