当客户拒绝提供身份证明时，义务机构应按照以下方式处理：

1. 明确告知义务与后果：

   • 义务机构应首先向客户明确说明，根据相关法律法规（如《反洗钱法》、《客户身份识别和客户身份资料及交易记录保存管理办法》等），提供身份证明是客户进行交易或办理相关业务的必要步骤。
   • 告知客户，若拒绝提供身份证明，义务机构将无法完成客户身份核实，进而可能无法为其提供服务或进行交易，甚至可能触发相关的法律后果。

2. 尝试多种核实方式：

   • 如果客户拒绝直接提供身份证明，义务机构可以尝试通过其他方式核实客户身份，如通过已有的客户信息进行交叉验证，或者要求客户提供其他可证明身份的辅助材料。
   • 在确保信息安全和合规的前提下，也可以考虑利用科技手段，如人脸识别、指纹识别等生物识别技术进行身份核实。

3. 记录并报告：

   • 对于客户拒绝提供身份证明的情况，义务机构应详细记录并留存相关证据，包括客户拒绝的时间、地点、方式以及义务机构的应对措施等。
   • 如果客户的行为涉嫌违法或存在风险隐患，义务机构应及时向相关部门或监管机构报告。

4. 保持沟通与解释：

   • 在整个过程中，义务机构应与客户保持积极沟通，耐心解释身份核实的重要性和必要性，以及拒绝提供身份证明可能带来的后果。
   • 尝试理解客户的顾虑和担忧，并尽可能提供合理的解决方案或替代措施。

综上所述，当客户拒绝提供身份证明时，义务机构应明确告知义务与后果、尝试多种核实方式、记录并报告相关情况，并保持与客户的沟通与解释。这样既能确保合规性，又能尽可能维护客户的合法权益。