行政拘留13天不会留下通常所说的“案底”（犯罪记录）。以下是对此结论的详细解释：

1. “案底”的法律含义：

   • “案底”在法律上特指犯罪记录，即经过法院审判判定有罪后留下的记录。

2. 行政拘留与犯罪记录的区别：

   • 行政拘留是公安机关对违反行政管理秩序的行为人实施的惩罚，它针对的是一般违法行为，并不属于犯罪范畴。
   • 因此，行政拘留不会产生严格意义上的“案底”（犯罪记录）。

3. 行政拘留的记录留存与影响：

   • 虽然行政拘留不产生犯罪记录，但相关违法记录会在公安机关留存备案。
   • 这些记录在某些特定情况下，如报考公务员、参军等政审环节，可能会对行为人产生不利影响。但这种影响并非源于“案底”，而是源于违法记录的留存。

4. 特殊情况说明：

   • 如果行为人因偷东西或其他违法行为被拘留，且该行为构成犯罪，那么经过法院审判后，会留下犯罪记录，即“案底”。但在此情况下，拘留的性质已经由行政拘留转变为刑事拘留或刑事处罚，与单纯的行政拘留有本质区别。

综上所述，行政拘留13天不会留下通常所说的“案底”（犯罪记录）。然而，该行为会在公安机关留下违法记录，这些记录可能在某些方面对行为人产生一定影响。因此，建议行为人在日常生活中遵守法律法规，避免不必要的法律纠纷和后果。如有任何法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。