身份证的发证机关是居民常住户口所在地的县级人民政府公安机关。根据《中华人民共和国居民身份证法》的相关规定，公民应当自年满十六周岁之日起三个月内，向常住户口所在地的公安机关申请领取居民身份证，而居民身份证由公安机关统一制作、发放，并由县级人民政府公安机关签发。这一规定确保了身份证的合法性和有效性，也方便了公民在社会活动中的身份认证。