检察院和公安局分别属于不同的机关管理体系。

1. 检察院：

   • 性质：检察院是国家的法律监督机关，负责全面监督国家法律的实施。
   • 管理：检察院由同级人民代表大会产生，对其负责并报告工作，接受其监督。同时，检察院在检察机关内部实行垂直领导的体制，上级人民检察院领导下级人民检察院的工作。
   • 职责：包括刑事诉讼监督（如立案监督、侦查监督、审判监督、执行监督）、民事诉讼和行政诉讼监督、公益诉讼检察以及职务犯罪侦查与预防等。

2. 公安局：

   • 性质：公安局是公安机关的组织形式，是主管公安工作的政府下设职能部门。
   • 管理：公安局受同级人民政府和上级公安机关的双重领导。在地方政府层面，公安局通常作为政府的一个组成部门，负责当地的治安管理、刑事侦查等工作；在上级公安机关层面，接受业务指导和监督。
   • 职责：包括维护社会治安秩序、打击犯罪、管理户口和居民身份证、管理枪支弹药和危险物品、管理公共场所和特种行业等。

综上所述，检察院和公安局分别属于国家的法律监督机关和政府的职能部门，各自承担着不同的职责和任务，并接受不同的管理体系监督。如有进一步的法律问题或需要更详细的解释，请直接向我咨询。