当您遇到法院执行科不执行的情况时，可以采取以下步骤来有效解决问题，确保您的合法权益得到维护：
一、明确前提与核实情况
确认执行条件：
- 确保您已持有生效的法律文书（如判决书、裁定书等），并且已过履行期限。
- 核实案件是否已满足执行立案的基本要求。
了解未执行原因：
- 与执行法官沟通，了解执行未能推进的具体原因。
- 可能的原因包括被执行人无财产可供执行、执行程序中的时间差、或存在中止执行的裁定等。
二、积极沟通与提供协助
保持密切沟通：
- 通过面对面交流、电话联系或使用法院网络平台等方式，与执行法官保持沟通，了解案件执行进展。
提供财产线索：
- 积极搜集并向执行法官提交被执行人的财产线索，如银行账号、房产信息、车辆信息、对外债权等，以协助执行工作的高效开展。
三、采取法律措施
提交强制执行申请：
- 若被执行人未在规定期限内履行义务，应依法向法院提交强制执行申请书及相关证据材料，启动强制执行程序。
向上级法院反映：
- 若认为执行庭存在消极执行、拖延执行等违法情形，可向上一级人民法院提出执行监督申请，请求其责令下级法院限期执行或变更执行法院。
提出书面异议：
- 对执行行为有异议的，可向负责执行的人民法院提出书面异议，并附上相关证据材料。法院将依法进行审查，并在规定时间内作出裁定。
四、寻求外部监督与支持
向检察院申请监督：
- 若执行庭存在违法不执行等严重问题，可向人民检察院申请检察监督，利用其法律监督权督促执行庭依法履职。
寻求人大、政协监督：
- 同时，也可向当地人大常委会或政协机关反映情况，请求其对法院执行工作进行监督，以促进问题的有效解决。
五、追究责任与留存证据
追究责任：
- 若发现执行人员存在违法失职行为，应向法院监察部门或检察院反映情况，依法追究相关人员责任。
留存证据：
- 在整个过程中，应妥善保存与执行相关的所有证据材料，包括申请执行的资料、与执行人员的沟通记录、法院回复等。这些证据将在必要时为您提供有力支持。
综上所述，面对法院执行科不执行的情况时，您应通过明确前提、积极沟通、采取法律措施、寻求外部支持以及追究责任与留存证据等步骤来有效解决问题。同时，请保持耐心和理性态度，通过合法途径维护自身权益是至关重要的。