当您遇到工伤认定书和劳动能力鉴定结果出来后保险公司不认可的情况，您可以采取以下步骤来维护自己的合法权益：

一、保留证据

首先，请务必妥善保留所有与工伤相关的证据，包括但不限于工伤认定书、劳动能力鉴定报告、医疗记录、现场照片、证人证言等。这些证据是后续与保险公司沟通、申请行政复议或提起行政诉讼的重要依据。

二、与保险公司沟通

接下来，您可以尝试与保险公司进行沟通，明确其不认可的具体原因和依据。在沟通过程中，请保持冷静和理性，尽量了解保险公司的立场和态度。如果保险公司提出了合理的质疑或需要补充的材料，您可以积极配合提供。

三、申请行政复议

如果与保险公司的沟通没有取得满意的结果，您可以向当地劳动保障行政部门申请行政复议。在申请行政复议时，您需要提交详细的复议申请书和相关证据材料。劳动保障行政部门会对双方提供的证据进行审查，并作出复核决定。

四、提起行政诉讼

如果您对行政复议结果仍然不服，可以向人民法院提起行政诉讼。在提起行政诉讼时，您需要准备充分的证据材料，并聘请专业的律师进行代理。法院会根据事实和法律规定，对工伤认定和劳动能力鉴定结果进行审查，并作出公正的判决。

五、注意事项

1. 时效性：请注意申请行政复议和提起行政诉讼的时效性，避免错过法定期限。
2. 证据收集：在整个过程中，证据的收集和保存至关重要。请务必确保所有证据的真实性和完整性。
3. 法律咨询：如果您对法律程序不熟悉，建议咨询专业的律师或法律机构，以获取更详细的法律建议和指导。

总之，当您遇到保险公司不认可工伤认定书和劳动能力鉴定结果的情况时，请务必保持冷静和理性，采取合法有效的措施来维护自己的合法权益。